驻点与性质判定
定义
曲线 \(y=f(x)\) 上若 \(f'(x)=0\)，则该点称为驻点（stationary point）。通过左右两侧梯度或二阶导可判定其为局部极大、局部极小或拐点。
极大：左正右负；极小：左负右正；拐点：同号或不变号（需再判）
术语
maximum 的复数是 maxima；minimum 的复数是 minima。
Example 2
a) 求曲线 \(y=x^{4}-32x\) 的驻点坐标；b) 比较两侧梯度判定性质
解：\(\frac{dy}{dx}=4x^{3}-32=4(x^{3}-8)=4(x-2)(x^{2}+2x+4)\)。
实根为 \(x=2\)，代回得 \(y=2^{4}-32\cdot2=16-64=-48\)，驻点 \((2,-48)\)。
在 \(x=2\) 左侧（取 \(x=1\)）\(\frac{dy}{dx}=4(1)-32=-28<0\)；右侧（取 \(x=3\)）\(\frac{dy}{dx}=4(27)-32=76>0\)，故为局部极小。
Example 3（二阶导判别）
a) 求 \(y=2x^{3}-15x^{2}+24x+6\) 的驻点；b) 用二阶导判定性质
解：\(\frac{dy}{dx}=6x^{2}-30x+24=6(x-1)(x-4)\Rightarrow x=1,4\)。
\(x=1\)：\(y=2-15+24+6=17\)；\(x=4\)：\(y=128-240+96+6=-10\)。
\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=12x-30\)。\(x=1\) 时二阶导为 \(-18<0\)（极大），\(x=4\) 时为 \(18>0\)（极小）。
Example 4（含图像与渐近线）
a) 已知 \(y=\tfrac{1}{x}+27x^{3}\) 在 \(x=\pm a\) 处有驻点，求 \(a\)；b) 略图并标注性质
解：\(\frac{dy}{dx}=-x^{-2}+81x^{2}=0\Rightarrow 81x^{4}=1\Rightarrow x=\pm\tfrac{1}{3}\)，故 \(a=\tfrac{1}{3}\)。
\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=2x^{-3}+162x\)。在 \(x=-\tfrac{1}{3}\) 处为负（极大），在 \(x=\tfrac{1}{3}\) 处为正（极小）。直线 \(x=0\) 为渐近线。
方法要点与检查
要点
1) 先解 \(f'(x)=0\)；2) 用二阶导或左右梯度判定；3) 代回求 \(y\)；4) 可画草图检验。